ความน่าจะเป็นเเละกฏที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น
การทดลองสุ่ม
การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือ ผลลัพธ์ที่เออกมาโดยเราไม่สามารถบอกได้ว่าการทดลองดังต่อไปนี้นั้นจะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร
ยกตัวอย่างเช่น
หากต้องการที่จะโยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันเเล้วได้ผลรวมเป็นจำนวนคู่นั้น ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้มานั้นสามารถเขียนในรูปเเบบของคู่อันดับ นั่นคือ (1 , 1) , (1 , 3) , (1 , 5) , (2 , 2) , (2 , 4) , (2 , 6) , (3 , 1) , (3 , 3) , (3 , 5) , (4 , 2) , (4 , 4) , (4 , 6) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5) , (6 , 2) , (6 , 4) , (6 , 6)
ปริภูมิตัวอย่าง
ปริภูมิตัวอย่าง หรือ เเซมเปิ้ลสเปซ (Sample Space) คือ เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในการทดลองสุ่ม ซึ่งสมาชิกในเซตนั้นจะเรียกว่า จุดตัวอย่าง (Sample Point / Outcome / Result. ) โดยมีสัญลักษณ์เป็น "S"
ยกตัวอย่างเช่น หากนำตัวอย่างของการทดลองสุ่มมาเขียน
หากต้องการที่จะโยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันเเล้วได้ผลรวมเป็นจำนวนคู่นั้น ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้มานั้นสามารถเขียนในรูปเเบบของคู่อันดับ นั่นคือ
S = {(1 , 1) , (1 , 3) , (1 , 5) , (2 , 2) , (2 , 4) , (2 , 6) , (3 , 1) , (3 , 3) , (3 , 5) , (4 , 2) , (4 , 4) , (4 , 6) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5) , (6 , 2) , (6 , 4) , (6 , 6)}
เหตุการณ์
เหตุการณ์ (Event) คือสับเซตของปริภูมิตัวอย่าง โดยโจทย์นั้นจะให้เงื่อนไขซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของปริภูมิตัวอย่าง โดยมีสัญลักษณ์เป็น "E"
ยกตัวอย่างเช่น หากนำตัวอย่างของการทดลองสุ่มเเละปริภูมิตัวอย่างมาเขียน
หากต้องการที่จะโยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันเเล้วได้ผลรวมเป็นจำนวนคู่นั้น ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้มานั้นสามารถเขียนในรูปเเบบของคู่อันดับ นั่นคือ
S = {(1 , 1) , (1 , 3) , (1 , 5) , (2 , 2) , (2 , 4) , (2 , 6) , (3 , 1) , (3 , 3) , (3 , 5) , (4 , 2) , (4 , 4) , (4 , 6) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5) , (6 , 2) , (6 , 4) , (6 , 6)}
ถ้าต้องการให้หน้าลูกเต๋านั้นขึ้นเป็นเลขคี่ เเต่ยังคงมีผลรวมเป็นจำนวนคู่ ซึ่งสามารถเขียนเป็นคู่อันดับใหม่ได้ว่า
E = {(1 , 1) , (1 , 3) , (1 , 5) , (3 , 1) , (3 , 3) , (3 , 5) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5)}
ความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็น คือ อัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ต่อจำนวนสมาชิกของปริภูมิตัวอย่าง โดยมีบทนิยามว่า
บทนิยาม
ถ้า S เเทนปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มอย่างหนึ่ง ซึ่งเเต่ละจุดตัวอย่างของการทดลองมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกันเเละ E เเทนเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนเเทนด้วย P(E) โดยจะกล่าวได้ว่า
P(E) = n(E)
n(S)
โดยกำหนดให้ n(E) เเทนจำนวนสมาชิกในเหตุการณ์ E เเละกำหนดให้ n(S) เเทนจำนวนสมาชิกในปริภูมิตัวอย่าง S
โดยที่ค่าของ P(E) นั้นจะมีค่า 0 ≤ P(E) ≤ 1
ยกตัวอย่างเช่น หากนำตัวอย่างของการทดลองสุ่มเเละปริภูมิตัวอย่างมาเขียน
หากกำหนดให้มีการโยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันเเล้วกำหนดเกณฑ์ว่าเอาเเค่ผลรวมเป็นจำนวนคู่นั้นเท่านั้น เเต่หากต้องการหาว่าถ้าต้องการให้หน้าลูกเต๋านั้นขึ้นเป็นเลขคี่ เเต่ยังคงมีผลรวมเป็นจำนวนคู่ จงหาความน่าจะเป็น
วิธีทำ
กำหนดให้เซตปริภูมิตัวอย่างนั้นเป็น S
S = {(1 , 1) , (1 , 3) , (1 , 5) , (2 , 2) , (2 , 4) , (2 , 6) , (3 , 1) , (3 , 3) , (3 , 5) , (4 , 2) , (4 , 4) , (4 , 6) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5) , (6 , 2) , (6 , 4) , (6 , 6)}
ดังนั้น n(S) = 18
กำหนดให้เซตเหตุการณ์ตัวอย่างนั้นเป็น E
E = {(1 , 1) , (1 , 3) , (1 , 5) , (3 , 1) , (3 , 3) , (3 , 5) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5)}
ดังนั้น n(E) = 9
ดังนั้นจาก P(E) = n(E)
n(S)
= 9
18
= 1
2
คำตอบ
ดังนั้นความน่าจะเป็นในการโยนลูกเต๋าครั้งนี้คือ 1
2
กฏที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น
จากความน่าจะเป็นเบื้องต้นนั้นเราสามารถเขียนกฏที่สำคัญบางประการในเซตได้ว่า
กฏข้อที่ 1
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P (A∩B)
กฏข้อที่ 2
ถ้า A∩B เเล้ว ∅ เเล้ว P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
กฏข้อที่ 3
P(A') = 1 - P(A)
กฏข้อที่ 4
P(A - B) = P(A) - P(A∩B)
ยกตัวอย่าง
ในการทดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน จงหา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะขึ้นหน้าเหมือนกันหรือผลรวมของเเต้มมากกว่า 8
วิธีทำ
กำหนดให้ค่าของปริภูมิตัวอย่าง โดยเป็นหน้าที่ลูกเต๋าทั้ง 2 ลูกจะขึ้นพร้อมกันเป็น S = { (1,1) , (1,2) , .... ,(1,6) , (2,1) , .... , (6,6) } = 36 วิธี
เเละกำหนดให้มีเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าเหมือนกันเป็น A = { (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) } = 6 วิธี
เเละกำหนดให้มีเหตุการณ์ที่มีเเต้มมากกว่า 8 เป็น B = { (3,6) , (4,5) , (4,6) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,3) , (6,4) , (6,5), (6,6)} = 10 วิธี
ดังนั้นใช้สูตร
P(A) = n(A)
n(S)
= 6
36
= 1
6
P(B) = n(B)
n(S)
= 10
36
= 5
18
จากโจทย์ถามหา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งสองลูกจะขึ้นหน้าเหมือนกันหรือผลรวมของเเต้มมากกว่า 8
ใช้กฏข้อที่ 1 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P (A∩B)
จากโจทย์นั้นพบว่า A∩B = {(5,5) , (6,6)} ดังนั้น
P(A∩B) = n(A∩B)
n(S)
= 2
36
= 1
18
ดังนั้น P(A∪B) = P(A) + P(B) - P (A∩B) = 7
18
ความคิดเห็น
แสดงความคิดเห็น