คอมบินาทอริกและความน่าจะเป็นเบื้องต้น

การทดลองสุ่ม      การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือ ผลลัพธ์ที่เออกมาโดยเราไม่สามารถบอกได้ว่าการทดลองดังต่อไปนี้นั้นจะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร  ยกตัวอย่างเช่น      หากต้องการที่จะโยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันเเล้วได้ผลรวมเป็นจำนวนคู่นั้น ถือว่า เป็นการทดลองสุ่ม  เพราะเนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้มานั้นสามารถเขียนในรูปเเบบของคู่อันดับ นั่นคือ (1 , 1) , (1 , 3) , (1 , 5) , (2 , 2) , (2 , 4) , (2 , 6) , (3 , 1) , (3 , 3) , (3 , 5) , (4 , 2) , (4 , 4) , (4 , 6) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5) , (6 , 2) , (6 , 4) , (6 , 6) ปริภูมิตัวอย่าง     ปริภูมิตัวอย่าง หรือ เเซมเปิ้ลสเปซ (Sample Space) คือ เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในการทดลองสุ่ม ซึ่งสมาชิกในเซตนั้นจะเรียกว่า จุดตัวอย่าง (Sample Point / Outcome / Result. ) โดยมีสัญลักษณ์เป็น "S" ยกตัวอย่างเช่น หากนำตัวอย่างของการทดลองสุ่มมาเขียน      หากต้องการที่จะโยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันเเล้วได้ผลรวมเป็นจำนวนคู่นั้น ถือว่า เป็นการทดลองสุ่ม  เพราะเนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้มานั้นสามารถเขียนในรูป...

ทฤษฏีบททวินาม     จากทฤษฏีของการกระจายคูณของเเต่ละวงเล็บของ (x+y) จะทำให้เกิดกรณีดังต่อไปนี้ กำหนดให้ (x + y) มีการคูณไปเรื่อยๆจำนวน n วงเล็บ โดยจากสูตรของการเลือกวงเล็บต่างๆที่เรียนในบทของ 3.3 เราจะได้สูตรว่า C n,r   =         n!                    (n - r)!r! หากเราให้ สัมประสิทธิ์ของ   ดังนั้นเราจะสามารถสรุปตามสูตรทฤษฏีบททวินาม (Binomial Theorem) ได้ว่า สูตรทฤษฏีบททวินาม ข้อสังเกตของบททฤษฏีทวินามนั้น  จริงๆเเล้วนั้นมาจากบทรูปสามเหลี่ยมปาสกาล เเต่เนื่องจากว่าเราสามารถใช้ทฤษฏีบททวีนามนั้นในการหาวงเล็บที่มีการคูณเรื่อยๆเป็นจำนวนมาก เเต่เงื่อนไขในการใช้บททฤษฏีทวินามมีดังต่อไปนี้ 1. จำนวนเเรกเเละจำนวยนสุดท้ายในเเต่ละเเถวนั้นคือ 1 เสมอ เพราะหาใช้สูตร C n,r  โดยกำหนดให้ r เป็น 0 หรือ n นั้น คำตอบก็จะเท่ากับ 1 อยู่เสมอ 2. ในเเต่ละเเถวนั้น จำนวนเเต่ละ จำนวนยกเว้นจำนวนเเรกเเละจำนวนสุดท้ายนั้น จะเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนอยู่เสมอ  หรือกล่าวได้ว่า ยกตัวอย่าง   วิธีทำเเละคำตอบ ...

วิธีการจัดหมู่      วิธีจัดหมู่ (Combination) เป็นการเลือกสิ่งของออกมาเป็นหมู่หรือชุดโดยไม่คำนึงเเต่อย่างใดว่าจะได้สิ่งใดออกมาก่อนหรือหลัง      กำหนดให้จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งนั้น โดยเลือกคราวละ r สิ่ง (โดย 10 ≤   r  ≤  n ) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ C n.r  วิธีโดย C n,r   =         n!                    (n - r)!r! หรือ   ตัวอย่างของวิธีการจัดหมู่ 1. จงหาว่าจำนวนวิธีเลือกนักเรียน 4 คนจากกลุ่มนักเรียน 12 คนนั้นมีทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ คำตอบ จำนวนที่เลือกนักเรียน 4 คนจาก 12 คนนั้นมีทั้งหมด 495 วิธี 2. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลทั้งหมด 9 ลูก ลูกบอลเเต่ละลูกเเตกต่างกันเป็นลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีเเดง 2 ลูกเเละสีดำ 2 ลูก ถ้าต้องการจะหยิบลูกบอลจำนวน 2 ลูกพร้อมกันจากกล่องใบนี้ จะหยิบลูกบอลที่จะได้ลูกบอกสีเเดงอย่างน้อย 1 ลูก วิธีทำ คำตอบ จะทำได้ทั้งหมด 17 วิธี 3. ถ้าต้องการเลือกกรรมการนักเรียน 10 คน ซึ่งประกอบด้วยนักเรียนชาย 4 คน เเละนักเรี...

วิธีการเรียงสับเปลี่ยน    วิธีการเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) คือการเรียงสิ่งของโดยคำนึงถึงตำเเหน่งของสิ่งของเเต่ละสิ่งเป็นที่สำคัญที่สุด โดยจะใช้บทนิยามที่ว่า "ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จะใช้เเฟกทอเรียล (factorial) n โดยเป็นผลคูณตั้งเเต่ 1 ถึง n เขียนเเทนด้วย n!" ตัวอย่าง  จงหาค่าของ  3!5!                                      8!  โดยวิธีสับเปลี่ยนนั้นจะใช้ทั้งหมด 2 เเบบคือ วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นเเละวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น คำตอบ จะสามารถจัดได้ถึง 72 วิธี   วิธีการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งจะเท่ากับ (n-1)! วิธี ตัวอย่างวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม 1. หากต้องการจัดนักเรียน 5 คนให้นั่งรอบโต๊ะกลม ซึ่งมีทั้งหมด 5 ที่นั่งนั้นได้ทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ คำตอบ จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด 24 วิธี 2. กำหนดให้นักเรียน 6 คนนั้นนั่งโต๊ะกลมทั้งหมด 6 ที่นั่งโดยมีชาย 3 คน เเละหญิ...

                           กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ เเผนภาพต้นไม้ ในการหาวิธีต่างๆในชีวิตประจำวันนั้น เราจะใช้กฏการนับปกติ โดยกฏการนับนั้นหากไม่ใช้การคำนวณ จะใช้ "เเผนภาพต้นไม้" ในการค้นหา โดยเเผน ภาพต้นไม้นั้นจะมีลักษณะลากยาวไปเรื่อยๆจนถึงขั้นสุดท้ายเเละนับว่ามีกี่วิธี ตัวอย่างของเเผนภาพต้นไม้ จากสนามบินเเห่งหนึ่งนั้นมีไฟลท์จากประเทศไทยไปยังประเทศสหรัฐอเมริกา โดยก่อนที่จะไปประเทศสหรัฐอเมริกานั้นจะต้องนั่งจากสนามบินประเทศไทยไปยังสนามบินประเทศเเคนาดา โดยหากในประเทศไทยมีเครื่องบินที่พาผู้โดยสารไปยังประเทศเเคนาดาทั้งหมด 7 ลำ เเละในประเทศเเคนาดามีเครื่องบินที่พาผู้โดยสารไปยังประเทศ สหรัฐอเมริกาทั้งหมด 5 ลำ สามารถเดินทางได้ทั้งหมดกี่วิธี เเละจงเเสดงได้ด้วยเเผนภาพต้นไม้ วิธีทำ คำตอบ สามารถนั่งได้ 35 วิธี กฏการบวกเเละกฏการคูณ เพื่อความเข้าใจง่ายยิ่งขึ้น หากท่านไม่ใช้เเผนภาพต้นไม้ในการคำนวณ ท่านสามารถใช้หลักการนับในการคำนวณได้ โดยหลักการนับนั้นสามารถเเบ่งได้เป็น 2 หลักการใหญ่นั่นคือ 1. หลักการบวก หลักการบวกนั...