กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

 

                    กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

เเผนภาพต้นไม้
ในการหาวิธีต่างๆในชีวิตประจำวันนั้น เราจะใช้กฏการนับปกติ โดยกฏการนับนั้นหากไม่ใช้การคำนวณ จะใช้ "เเผนภาพต้นไม้" ในการค้นหา โดยเเผน ภาพต้นไม้นั้นจะมีลักษณะลากยาวไปเรื่อยๆจนถึงขั้นสุดท้ายเเละนับว่ามีกี่วิธี

ตัวอย่างของเเผนภาพต้นไม้
จากสนามบินเเห่งหนึ่งนั้นมีไฟลท์จากประเทศไทยไปยังประเทศสหรัฐอเมริกา โดยก่อนที่จะไปประเทศสหรัฐอเมริกานั้นจะต้องนั่งจากสนามบินประเทศไทยไปยังสนามบินประเทศเเคนาดา โดยหากในประเทศไทยมีเครื่องบินที่พาผู้โดยสารไปยังประเทศเเคนาดาทั้งหมด 7 ลำ เเละในประเทศเเคนาดามีเครื่องบินที่พาผู้โดยสารไปยังประเทศสหรัฐอเมริกาทั้งหมด 5 ลำ สามารถเดินทางได้ทั้งหมดกี่วิธี เเละจงเเสดงได้ด้วยเเผนภาพต้นไม้

วิธีทำ

คำตอบ
สามารถนั่งได้ 35 วิธี
กฏการบวกเเละกฏการคูณ
เพื่อความเข้าใจง่ายยิ่งขึ้น หากท่านไม่ใช้เเผนภาพต้นไม้ในการคำนวณ ท่านสามารถใช้หลักการนับในการคำนวณได้ โดยหลักการนับนั้นสามารถเเบ่งได้เป็น 2 หลักการใหญ่นั่นคือ
1. หลักการบวก
หลักการบวกนั้นสามารถสังเกตการใช้เหตุการณ์ที่สามารถใช้การบวกได้ดังต่อไปนี้
- เป็นเหตุการณ์ที่ยังเกิดขึ้นไม่เสร็จสิ้น
- เป็นเหตุการณ์ที่สามารถเเบ่งขั้นตอนทีละขั้นตอนได้ว่า ขั้นตอนนี้ทำได้กี่วิธี

ตัวอย่างของหลักการบวก
นักเรียนจำนวน 2 คนนั้นจะต้องทิ้งขยะในถัง โดยในโรงเรียนมีถังขยะทั้งหมด 4 ถัง หากนักเรียนนั้นมีขยะคนละ 2 ชิ้น ปรากฏว่า นักเรียนคนเเรกนั้นทิ้งขยะในถังเดียวกัน นักเรียนคนที่สองทิ้งขยะต่างถังกัน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดของนักเรียนทั้ง 2 คนในการทิ้งขยะ

วิธีทำ

คำตอบ
สามารถทิ้งได้ทั้งหมด 10 วิธี

2. หลักการคูณ
หลักการคูณนั้นสามารถสังเกตการใช้เหตุการณ์ที่สามรถใช้การคูณได้ดังต่อไปนี้
- เป็นเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมดเเล้ว / เสร็จเรียบร้อยเเล้ว
- เป็นเหตุการณ์ที่จะต้องหาวิธีในการจับคู่ทั้งหมด หรือกล่าวได้ว่า หากไม่ใช้เเผนภาพต้นไม้ในการคำนวณ สามารถใช้หลักการคูณได้

ตัวอย่างของหลักการคูณ
1. ในการเเต่งตัวไปทะเลนั้น หากมีเสื้อทั้งหมด 5 ตัว กางเกงทั้งหมด 4 ตัว ถุงเท้าทั้งหมด 3 คู่เเละรองเท้าทั้งหมด 4 คู่ โดยเเต่ละอย่างในประเภทเดียวกันนั้นไม่เหมือนกันเลย จงหาวิธีการเเต่งตัวไปทะเลทั้งหมด

วิธีทำ


คำตอบ
จะมีวิธีการเเต่งตัวทั้งหมด 240 วิธี


2. ในโรงเรียนเเห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 จำนวน 100 คน ถ้าต้องการเลือกคณะกรรมการชุดหนึ่ง ประกอบไปด้วย ประธานนักเรียน รองประธานนักเรียน เเละหัวหน้าห้องจำนวน 2 คน โดยที่หากเลือก 1 คนเเล้วไม่สามารถทำหน้าที่อีกตำเเหน่งเพิ่มได้อีก จะมีวิธีเลือกคณะกรรมการได้กี่วิธี

วิธีทำ

คำตอบ
ดังนั้นสามารถเลือกคณะกรรมการได้ทั้งหมด 94,109,400 วิธี

3. ให้จำนวนเต็มบวกสี่หลักนั้นเป็นจำนวนคู่โดยจำนวนเเต่ละหลักใช้เลขโดดที่ไม่ซ้ำกัน สามารถหาได้กี่จำนวน 

วิธีทำ

คำตอบ
จะได้ทั้งหมด 2296 วิธี

ความคิดเห็น

แสดงความคิดเห็น

โพสต์ยอดนิยมจากบล็อกนี้

วิธีการจัดหมู่

รูปภาพ
วิธีการจัดหมู่      วิธีจัดหมู่ (Combination) เป็นการเลือกสิ่งของออกมาเป็นหมู่หรือชุดโดยไม่คำนึงเเต่อย่างใดว่าจะได้สิ่งใดออกมาก่อนหรือหลัง      กำหนดให้จำนวนวิธีจัดหมู่ของสิ่งของที่เเตกต่างกัน n สิ่งนั้น โดยเลือกคราวละ r สิ่ง (โดย 10 ≤   r  ≤  n ) นั้นจะเกิดการเลือกขึ้นมา จะได้ C n.r  วิธีโดย C n,r   =         n!                    (n - r)!r! หรือ   ตัวอย่างของวิธีการจัดหมู่ 1. จงหาว่าจำนวนวิธีเลือกนักเรียน 4 คนจากกลุ่มนักเรียน 12 คนนั้นมีทั้งหมดกี่วิธี วิธีทำ คำตอบ จำนวนที่เลือกนักเรียน 4 คนจาก 12 คนนั้นมีทั้งหมด 495 วิธี 2. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลทั้งหมด 9 ลูก ลูกบอลเเต่ละลูกเเตกต่างกันเป็นลูกบอลสีขาว 5 ลูก สีเเดง 2 ลูกเเละสีดำ 2 ลูก ถ้าต้องการจะหยิบลูกบอลจำนวน 2 ลูกพร้อมกันจากกล่องใบนี้ จะหยิบลูกบอลที่จะได้ลูกบอกสีเเดงอย่างน้อย 1 ลูก วิธีทำ คำตอบ จะทำได้ทั้งหมด 17 วิธี 3. ถ้าต้องการเลือกกรรมการนักเรียน 10 คน ซึ่งประกอบด้วยนักเรียนชาย 4 คน เเละนักเรี...
อ่านเพิ่มเติม

ทฤษฏีบททวินาม

รูปภาพ
ทฤษฏีบททวินาม     จากทฤษฏีของการกระจายคูณของเเต่ละวงเล็บของ (x+y) จะทำให้เกิดกรณีดังต่อไปนี้ กำหนดให้ (x + y) มีการคูณไปเรื่อยๆจำนวน n วงเล็บ โดยจากสูตรของการเลือกวงเล็บต่างๆที่เรียนในบทของ 3.3 เราจะได้สูตรว่า C n,r   =         n!                    (n - r)!r! หากเราให้ สัมประสิทธิ์ของ   ดังนั้นเราจะสามารถสรุปตามสูตรทฤษฏีบททวินาม (Binomial Theorem) ได้ว่า สูตรทฤษฏีบททวินาม ข้อสังเกตของบททฤษฏีทวินามนั้น  จริงๆเเล้วนั้นมาจากบทรูปสามเหลี่ยมปาสกาล เเต่เนื่องจากว่าเราสามารถใช้ทฤษฏีบททวีนามนั้นในการหาวงเล็บที่มีการคูณเรื่อยๆเป็นจำนวนมาก เเต่เงื่อนไขในการใช้บททฤษฏีทวินามมีดังต่อไปนี้ 1. จำนวนเเรกเเละจำนวยนสุดท้ายในเเต่ละเเถวนั้นคือ 1 เสมอ เพราะหาใช้สูตร C n,r  โดยกำหนดให้ r เป็น 0 หรือ n นั้น คำตอบก็จะเท่ากับ 1 อยู่เสมอ 2. ในเเต่ละเเถวนั้น จำนวนเเต่ละ จำนวนยกเว้นจำนวนเเรกเเละจำนวนสุดท้ายนั้น จะเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนอยู่เสมอ  หรือกล่าวได้ว่า ยกตัวอย่าง   วิธีทำเเละคำตอบ ...
อ่านเพิ่มเติม

ความน่าจะเป็นเเละกฏที่สำคัญบางประการของความน่าจะเป็น

การทดลองสุ่ม      การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือ ผลลัพธ์ที่เออกมาโดยเราไม่สามารถบอกได้ว่าการทดลองดังต่อไปนี้นั้นจะได้ผลลัพธ์เป็นอะไร  ยกตัวอย่างเช่น      หากต้องการที่จะโยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันเเล้วได้ผลรวมเป็นจำนวนคู่นั้น ถือว่า เป็นการทดลองสุ่ม  เพราะเนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้มานั้นสามารถเขียนในรูปเเบบของคู่อันดับ นั่นคือ (1 , 1) , (1 , 3) , (1 , 5) , (2 , 2) , (2 , 4) , (2 , 6) , (3 , 1) , (3 , 3) , (3 , 5) , (4 , 2) , (4 , 4) , (4 , 6) , (5 , 1) , (5 , 3) , (5 , 5) , (6 , 2) , (6 , 4) , (6 , 6) ปริภูมิตัวอย่าง     ปริภูมิตัวอย่าง หรือ เเซมเปิ้ลสเปซ (Sample Space) คือ เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในการทดลองสุ่ม ซึ่งสมาชิกในเซตนั้นจะเรียกว่า จุดตัวอย่าง (Sample Point / Outcome / Result. ) โดยมีสัญลักษณ์เป็น "S" ยกตัวอย่างเช่น หากนำตัวอย่างของการทดลองสุ่มมาเขียน      หากต้องการที่จะโยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกันเเล้วได้ผลรวมเป็นจำนวนคู่นั้น ถือว่า เป็นการทดลองสุ่ม  เพราะเนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้มานั้นสามารถเขียนในรูป...
อ่านเพิ่มเติม